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近似値
四捨五入した値は実際の値とは異なります。
このような実際の数とは異なるものの、実際の値にある程度近い値を近似値と言います。
四捨五入の他にも定規などの器具で測定した値は近似値です。
この世に正確に1cmピッタリを測れる人はいません。
例えば、1.1を小数第一位で四捨五入すると1ですね。
1は1.1の近似値です。
小数第一位で四捨五入する場合、1.2も1.3も、0.9も0.7も、全て1です。
では、その範囲はどうなるでしょう？
1.1も1.2も1.3は1で、1.4も1ですが、1.5では2になりますね。
1.4と1.5の間の数は1.45ですが、これを小数第一位で四捨五入すると1です。
1.46も1.49も、そして1.49999も1です。
1.5未満であれば1ですね。
0.9も0.8も0.7は1で、0.6も1で、0.5も1ですが、0.4では0になりますね。
0.4と0.5の間の数は0.45ですが、これを小数第一位で四捨五入すると0です。
0.46も0.49も、そして0.49999も0です。
0.5以上であれば1ですね。
小数第一位で四捨五入して1となる数aは、0.5≦a＜1.5という不等式で表すことができます。
小数第一位で四捨五入した値は1,2,3等の整数です。
これは整数から0.5ずれたところに境目があるわけですね。
1-0.5≦a＜1+0.5という不等式で求めることができます。
なお、小数第二位で四捨五入して3.4となる数aは、3.35≦a＜3.45という不等式で表すことができます。
小数第二位で四捨五入した値は3.3,3.4,3.5等の整数です。
これは小数第一位から0.05ずれたところに境目があるわけですね。
3.4-0.05≦a＜3.4+0.05という不等式で求めることができます。
近似値と実際の値との差、つまり「近似値-実際の値」の事を誤差と言います。
近似値が小数第一位で四捨五入した0.4、実際の値が0.4432であれば
誤差=0.4-0.4432=-0.0432
実際の値から0.0432小さいということが分かりやすいですね。
では小数第一で四捨五入した近似値が1の場合、誤差の絶対値は最大でいくつでしょう？
1から最も遠いのは0.5ですね。
誤差=0.5-1=-0.5
つまり誤差の絶対値は0.5です。
小数第一の四捨五入では整数から0.5ずれたところに境目があるので、最大でも0.5しかずれません。
逆に最大で0.5ずれる可能性があるとも言えますね。
小数第二位であれば0.05ずれる可能性があるという事になります。
有効数字
有効数字は多くの中学生を悩ませ、結局余り入試で使うことが無いので忘れられ、高校に入ってまた物理等で出てきて高校生を苦しめます。
忘れやすい所ですから、ちゃんと覚えておきましょうね。
「太朗さんがお湯の量を測ったら20Lでした。」
この文章を読んで、太朗さんのお湯の量alは実際何Lだと思いますか？
なお、太朗さんはピッタリ20L測れる特殊能力は持っていません。
20.2Lかもしれませんし、19.65Lかもしれませんし、21.3Lかもしれません。
太朗さんが「一桁目で四捨五入しました！」と言えば場合によっては24.999Lということもあり得ます。
「太朗さん、そこはもう少し、25Lくらいにしておこうよ」というツッコミを入れたくなります。
しかし、太朗さんは間違っていません･･･空気は読めていないかもしれませんが。
ここで役に立つのが有効数字という考え方です。
仮にそこそこちゃんと図っていたとして、小数第一位で四捨五入されており19.5≦a＜20.5位の範囲かもしれません。
このとき「20」という数字は整数部分までが確からしい数字ですね。
19.49であれば「19Lでした」と言うはずですし、20.5Lであれば「21Lでした」というはずです。
これが分かるように次のように書きます。
2.0×10L
「20」まで正しいので、最大の桁を整数部分とし、それ以下の桁を全て小数で書き表します。
そしてそれを元の数になるよう10や100を掛けた形とします。
この書き方で書くと、2と0まで信用していい数字だと伝わります。
20が有効数字であり、有効桁数は2桁となります。
このとき測定した結果はおそらく「19Lと20Lの間でやや20よりで大体19.7Lかな？」等で19～20の間か、20～21の間で20よりだったのでしょう。
有効桁数までは正しく測定していることになります。
もし精度の高い測定器で計っていて19.9995≦a＜20.0005であるなら次のようにして有効数字を表します。
20.0009はあり得ませんので、20.000までが信用できる数字ですね。
有効桁数は5桁です。
2.0000×10L
6365000≦a＜6375000という範囲の数で63700000であれば次のように有効数字を表します。
637までが有効数字で、有効数字3桁です。
6.37×1000000
ただ、1000000はちょっと何桁かわかりにくいですね。
10の指数を使います。
101は10、102は100、103は1000、というように0の個数と10の指数が一致します。
6.37×106