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方程式
まず方程式というものについて。
次のような文章から、文字式を使った「等式」を作ることが出来ます。
「時速4kmでa時間歩くと、その道のりは8kmでした。」
まず4kmでa時間歩いたときの道のりの式は速さ×時間ですから、4aです。
一方で、その値は文章から8kmです。
4aと8kmが等しいという事ですね。
「=」を用いて、次のように表すことが出来ます。
4a=8
このように、文字を使った式の等式を「方程式」と言います。
ちなみに、これ、何時間歩いたわかりますか?
1時間なら4km、2時間なら8kmなので、2時間ですね。
あるいは4aという式に何を代入すると8になるか考えると、2ですね。
はたまた、4a=8という等式、これは4aと8が等しいわけで、4aを4で割ったaと8を4で割った2が等しいとも考えることが出来ます。
何はともあれ、a=2という、この等式が成り立つaの値を、この方程式の「解」と言います。
方程式には文字が含まれています。
その文字の値を求める計算の事を「方程式を解く」と言います。
これから高校の入試問題や、人によっては大学の入試問題を解くことになるでしょう。
そのほとんどが、この方程式を解くという計算になります。
等号
余り説明してもらえないためか、「統合」についてはあいまいな理解の子が多いですね。
まず、等号は「左辺と右辺が等しい」という記号です。
一行の等号を含んだ数式を書いたとき、左と右が一致している必要があります。
また、行を買えたとしても同じ話で=でつなげている以上、その前後の式の値は同じものでなければなりません。
大体3種類の形で使われますが、いずれも意味は同じです。
計算の等号
方程式の等号
y=axのような等号
計算
(1+2+3+4)×5
=(10)×5
=50
このような使い方の事です。
1つめの=は出発の式と、次の式の値が等しくなるような計算をしています。
この場合は1+2+3+4=10、1+2+3+4と10が等しいので、1+2+3+4を10に置き換えたわけです。
次の=も同じですね。
10×5=50、10×5と50は等しいので10×5を50に置き換えています。
結果、(1+2+3+4)×5と50が等しい事が分かります。
方程式
方程式のときの=は少し意味合いが違ってきます。
4a=8・・・①
という数式が与えられるところから始まります。
4aを計算して8になるというわけでは無く、4aが8であるという事実から、4a=8という式を作っています。
これが方程式の=であり、このとき=は天秤のような役割になります。
=が天秤の支点で、両辺に重さ8の分銅が乗っているようなイメージです。
4aと8が等しいのですから、aがなんであるかよくわかりませんが、4aを計算した結果は8になるわけで、両辺ともに8です。
であれば左辺の4aを4で割ると、8を4で割った値2に等しくなるはずで、もちろん右辺の8を4で割った値の2と等しくなりますね。
天秤の両側の分銅を4で割っても、同じ重さなのですから、つり合いは保ったままです。
左辺の4aを4で割った値と、右辺の8を4で割った値は等しくなります。
{4a/4}={8/4}・・・②
ここで両方の式の計算、つまり{4a/4}=a、{8/4}=2をしてしまって問題ありませんね。
a=4・・・③
①の両辺は値が8でしたが、③の両辺は値が4です。
=は値が等しい記号なので、式の両辺を同じ数で割ってもその=の関係は保たれますが、式の値自体は変化します。
方程式の=は、一つの式としては左辺と右辺の値が等しいという記号です。
両辺に同じ値を掛けたり割ったり、足したり引いたりした式は、当然値が変わってきます。
しかし、それであっても、=は一つの式として左辺と右辺の値が等しいという記号として使います。
①の左辺と、③の右辺が同じ値である必要はありません。
しかし、①での左辺と右辺、③での左辺と右辺は等しい必要があります。
方程式の=の使い方と、計算の=の使い方は違う使い方であると理解しておきましょう。
これはこの後もう一度しっかりと解説します。
y=axのような
小学校でやった比例の式、y=2xのような式がありますね。
ここで使う=も少しこれまでの=とは違った使い方になっています。
これは「yを2xの計算結果とする」という意味で使われます。
一応、あくまで、=は左辺と右辺が等しいという意味でしかないのですが・・・そのようなニュアンスで捉えると良いでしょう。
xを決めると2xの値が決まり、それがyの値になります。
x=1であれば、y=2×1=2、x=2であれば、y=2×2=4、x=3であれば、y=2×3=6、と言った具合です。
計算のときの様に、=を繋いでその値を求めるというものではありません。
方程式の様に両辺に同じ計算を施して式の値を変えていくものでもありません。
解き方
方程式を解く方法は先に解説した、方程式の=の使い方を使います。
両辺の等式を保ったまま式を変えていく
「左辺=右辺」という関係式は、同じ数を足したり引いたり、掛けたり割ったりしても、変わりません。
例えば「15=3×5」という関係式は正しい式ですね。
この式で両辺から3を引いてみましょう。
15-3=12
3×5-3=15-3=12
当たり前ですが、変わりません。
つまり、「15-3=3×5-3」であり「左辺-3=右辺-3」です。
方程式の=は天秤の支点です。
両辺に同じものを足したり引いたり、掛けたり割ったりしても、天秤のつり合いは保たれます。
この性質を「うまく」使う事で、方程式を解くことが出来ます。
5a-3=7
このような方程式を考えてみましょう。
この方程式、もしaが2なら、左辺=5×2-3=7ですから、aは2ですね。
つまり、a=2です。
そう、5a-3=7という方程式を、a=2という式に変形すればいいんです。
目指すべきゴールは「a=○」の形です。
これをまず覚えましょう。
まず5a-3=7ですが、「a=○」と異なる点は二か所あります。
aの係数が1であって欲しいのに5である事と、左辺はaだけになって欲しいのに-3という項がある事です。
とりあえず-3が「邪魔」なので、これを消すことをまず考えてみましょう。
両辺に3を足す、もしくは両辺から-3を引きます。
5a-3+3=7+3
これを計算して、
5a=10
もうだいぶ近いですね。
次にaの係数が1であって欲しい、5が「邪魔」です。
両辺を5で割りましょう。
5a/5=10/5
a=2
たどり着きました。
a=2
もうこの形から、aは2以外何者でもありません。
aは2です。
a=2であるためにはaは2です。
5a-3=7であるためには、aは2となります。
さて、次に逆の道を辿ってみましょう。
a=2から5a-3=7を作る道です。
これはこれでやっておくと理解が深まると思います。
a=2を5a-3=7にしたいのですが、まずaの係数が1と5で違っていますね。
これを揃えてあげましょう。
a=2の両辺を5倍して、5a=10、これを作ります。
もう、だいぶ近いですね。
-3が左辺にありません。
両辺から3を引く、もしくは両辺に-3を足します。
5a-3=10-3
右辺は10-3=7ですから、
5a-3=7
完成しました。
目指すべきゴールは「a=○」です。
そうなるように、両辺で同じ計算をします。
これは「邪魔なものを消す」という事を考えると良いでしょう。
え?邪魔なものは頑張るマン?
冗談でもそんなこと言っちゃダメです。
差が出る理解
答えが出て万歳、では100点には程遠い。
先人(昔の人たちが長年の経験から)は言いました。
「勝って兜の緒を締めよ」
勝利したと思った瞬間の気のゆるみが勝利を逃すのです。
と言うわけで、必ず見直しをしましょう。
5a-3=7からa=2を導いたら、a=2を「元の式に代入」して確認します。
5a-3=7にa=2を代入します。
5×2-3=7
10-3=7
7=7
正しい式です。
「5=3」とか、両辺が等しくならない場合、途中の計算が間違っている可能性があります。
繰り返し確認するか、もう一度問題を解くなどしましょう。
そして確認をすると、方程式を解く問題をしながら、代入をする問題の練習ができます。
まさに一石二鳥!
間違いにも気が付けるので一石三鳥です。
移項
方程式を解くための計算方法はお分かりいただけたでしょうか?
ここからは計算を簡単にするための移項を解説します。
移行もその意味から正しく理解しなければ、すぐに間違えますので、しっかり理解しましょうね。
まず5-3=2という式を考えましょう。
次に両辺に3を加えた、5-3+3=2+3という式を作ります。
何故3を加えたのか?
5-3の3を消してみたかったからです。
5-3の3を消すためには、3を加えれば良いですね?
5-3+3=5
一方で3を消したいからと言って、左辺だけ3を加えては天秤は釣り合わなくなります。
右辺にもちゃんと3を足してありますね。
これが移項です。
5-3=2
これに3を足し、
5-3+3=2+3
5=2+3
これが移項です!
「左辺の-3が、+3になって右辺に移動した」ようにも見えますね。
これが移項です!
もともとは天秤の両辺を等しく変形するところからきています。
「右に行くと符号が変わるんだ(キリッ」と、その背景を説明せずに解説されても、数学の力を失うだけです。
根底にある考えを正しく理解することはそれほど難しい話ではありません。
それをせずに、公式的なやり方だけ解説してしまうのは数学の力を身につけさせない方法ですから、気を付けてくださいね。
では、さっそく使ってみましょう。
問題は「2a+4=a-5」にしましょう。
まず、目指すべきゴールは「a=○」の形で、邪魔なものを消していく事です。
左辺はaだけになって欲しいので左辺の+4、これが「邪魔」ですね。
移項で消えて頂きましょう。
2a+4=a-5
2a=a-5-4
2a=a-9
はい。
右辺の数字だけになって欲しいので、右辺のaも「邪魔」ですね。
これも移項で消えて頂きましょう。
もちろん数字だけではなく、文字に対しても移項はできます。
2a=a-9
2a-a=-9
a=-9
はい、答えです。
「勝って兜の緒を締めよ」
はい、見直ししましょうね。
2a+4=a-5にa=-9を代入します。
左辺=2×(-9)+4=-18+4=-14
右辺=(-9)-5=-14
問題ないですね!
これをいずれ頑張るマン的に解説します。