式の計算

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単項式と多項式
1. 次数
式の計算
1. 差が付く理解！
2. 文字について解く
  1. 差が付く理解！
問題演習

単項式と多項式

文字式2a+3b-4cの項は2a,3b,-4cですね。
このように複数の項からなる文字式を多項式と言います。
項が1つしかない場合、その文字式を単項式と言います。
多項式の各項は単項式として見ることが出来ますね。

次数

単項式で「掛けられている」文字の個数をその単項式の次数と言います。
「掛けられている」というところがポイントです。
頑張るマンはいつも罵声を浴びせ掛けられています･･･。

例えば3aという単項式の次数は、3×aで文字1つが掛けられていますから次数は1です。
3ab²という単項式の次数は、3×a×b×bで文字3つ掛けられていますから次数は3です。
3ab²はa,bの文字ふたつだから次数は2、と答えないでくださいね。
また、5は文字が1つもありませんから次数は0になります。

次数が1の単項式を1次式、次数が2の単項式を2次式と言います。
次数が0の項を定数項と言います。

多項式についても次数を定めます。
多項式の次数は多項式に含まれる単項式の次数のうち最大の次数です。

3a+2という多項式であれば単項式は3a,2で、それぞれの次数は1と0です。
最大の次数は1ですね。
3a+2の次数は1になります。
-a²b+4(ac)²+5の多項式ではどうでしょうか？
単項式は-a²b,4(ac)²,5ですね。
文字の個数は-a×a×bで3個,4×ac×ac=4×a×c×a×cで4個,5は0個ですね。
つまり次数はそれぞれ3,4,0で、最大の次数は4になりますから、多項式-a²b+4(ac)²+5の次数は4になります。

一次式の計算で、同類項をまとめるという話をしました。
これは何も一次式に限った話ではありませんし、1つの単項式に限った話でもありません。

基本的に1年生で習っている事を使えば2年生の単項式と多項式の計算は出来てしまいます。
2つの文字a,bを使った単項式もつ多項式の計算をしてみましょう。
4a+2b+5a-3b
=4a+5a+2b-3b←同類項の順に並び変えました。
=(4+5)a+(2-3)b←同類項同士で計算です。
=9a+(-1)b←計算結果ですが、負の数の書き方は省略できますね。
=9a-b

a²に係数が付いたような単項式3a²と5aは同類項でしょうか？
同類項は「1つの式の中に複数の項があり、文字部分が同じ項の事を同類項と言います。」という説明をしていました。
「文字部分が同じ」とは掛けられている文字の個数が一致するという意味になります。
a²=a×aとaはaの掛けられている個数が不一致ですから同類項ではありません。
3a²+5a-2a-4a²
=3a²-4a²+5a-2a
=(3-4)a²+(5-2)a
=-a²+3a

差が付く理解！

文字を使った式や一次式の計算の理解が甘いと-(5a-3b)を間違って捉えがちです。
もし-(5a-3b)=-5a+3bであることがわからないという方は、こちらを復習しておいてくださいね。

文字を使った式

文字を使った式についての単元をイケメン教師の頑張るマン的に解説しました。問題演習もあわせて試してみてね。

一次式の計算

一次式の計算についての単元をイケメン教師の頑張るマン的に解説しました。問題演習もあわせて試してみてね。

4a+2b-(5a-3b)
=4a-5a+2b+3b
=(4-5)a+(2+3)b
=-a+5b

文字について解く

複数の単項式を含んだ多項式を扱うと、方程式も少し変化がおこります。
定数項以外に複数種類の単項式があるような方程式を考えることが出来ます。

例えば、a+2b=1のような方程式です。
これは1年生で習った方程式の解き方で「解」を求める事ができます。
※高校生や先生からは、「無理やろ」と言われそうですが･･･。

簡単です。
例えばb=0にしましょうか。
これを方程式に代入するとa=1、つまり(a=1,b=0)、これは解になっています。
方程式の解とはその式を満たす文字の値ですからね。
※文字が複数ある場合もそれが解である、という説明はしていなかったかもしれませんね･･･。

もちろんこれは解の1つであり、解はいくらでも作ることが出来ます。
方程式左辺の2bを右辺に移項すれば、a=1-2bですからね。
bを決めればaが決まる。
これは関数になっています。
無限に解を作ることが出来ますので、解を求める事だけなら超簡単ですね。

あ、本題です。
方程式を途中で変形しましたね。
a=1-2b
これが実は重要なんです。
方程式を「特定の文字=特定の文字を含まない文字式」、今回は「a=aを含まない文字式」の形に変形しています。
このように変形する事を、「文字について解く」、特に「aについて解く」と言います。

S={1/2}lrをlについて解いてみましょう。
まず分数が邪魔なので、分数に消えてもらいます。

え？頑張るマンに消えてもらいたい？
頑張るマン的には戻るボタンに消えてもらいたいですけどね･･･。

分数を消すには分母の2を両辺に掛ければ良いですね。
2S=lr
rが邪魔ですねえ。
rで割ってしまいましょう。
※ただ、数学では0で割る事だけはやってはいけないのでr≠0という前提が付きます。
※ちなみにr=0なら･･･S=0でlは何でも良いですね。
{2S/r}=l
左辺と右辺を入れ替えて、
l={2S/r}
これがlについて解いた答えです。