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小学生でも□とか○を数式の中に使ったり、xやyを使った式をやってますよね。
小学生の算数と中学校の数学の最も大きな違いは、この文字式です。
数の代わりに、文字を使って色々な数量を表すことをしていきます。
文字式
例えば1個100円のケーキを1個買うと、100×1=100円ですね。
ケーキを2個買えば100×2=200円、ケーキを2個買えば100×3=300円となります。
ケーキを「何個か」買った時、その何個かがよくわからないときにa等の文字を使って式を表します。
数式は数字だけではなく、文字を使っても良いんですね。
ケーキをa個買ったとき、100×a円となります。
このように文字を使って表した式を文字式と言います。
文字式のルール
文字を使った式ではaを省略します。
100×a=100aになります。
また、a×3は3aと言うように数字を前に書きます。
これは数式を誰が見ても同じ計算が出来るように決めたルールです。
数式を見た人によって解釈が変わって計算結果が変わってしまうようでは、数式の意味がありません。
必ず同じ結果となるように、ルールが決まっているんですね。
このほかにも÷は使わないというルールがあります。
a÷5=a×{1/5}={a/5}というように、÷は逆数を使えば掛け算になりますから、÷を使わずに式をあらわすことが出来るんですね。
一方で+と-については省略しません。
5×a+2=5a+2です。
5a2とは書きませんし、52aとも、25aとも書きません。
このように+,や-を省略してしまうと、式を解釈できなくなってしまうので、省略するのは×と÷だけです。
項
2×5×a-b÷{-1/2}=10a+2b
は10aと2bの間の+を省略しませんので、これ以上簡単にできません。
すると+や-で「区切られる」塊が2個出来る事になります。
「10a」と「2b」ですね。
この塊の事を項と言います。
項は+を使わずに表しますが、-は忘れずにつける必要があります。
2a-3b+cの場合は「2a」と「-3b」と「c」が項になります。
差が付く理解
計算の基本は足し算にあります。
2a-3b+cは(2a)-(3b)+(c)と捉える事もできますが、2a+(-3b)+cと捉えることもできます。
式に出てくる項を、足し算でつなぐと元の式に戻ります。
項が「2a,3b,c」ではなく、「2a,-3b,c」になるのは、足し算でつないで元に戻るから、と覚えておくと良いと思います。
係数
項には数字部分があればその数字を係数と言います。
10aであれば10、-3aであれば-3です。
ではaの係数は何と言えるでしょうか？
a=○×aが成り立つのは･･･？
そうです1ですね！
いきなり答えですみません。
これは1a=aであり、aの係数は1であるという事を意味します。
項の係数が1の場合、つまり1aのとき、係数を省略してaと書きます。
差が付く理解
ここで1つ重要な計算を考えておきましょう。
まず-aについてです。
-aの係数、わかりますか？
-1･･･？
それは何故でしょう･･･？
「そう習ったから」では、数学の道はいずれ閉ざされてしまいます。
aからaを引けば0ですよね。
これからa-a=0となりますが、これはa-a=0×aという事を意味しています。
aの係数は1で、-aの係数を足すと0になるわけですから、-aの係数は1に足して0になる数、だから-1です。
「aの前に1が隠れているから、-aの係数は-1だね」
という説明に騙されてはいけません。
-a=-(a)=-{1×a}-(1)×(a)が-aであると説明できなければ、この話は成り立ちませんからね？
これを説明するためには、上記のような説明が必要なのですが、そこを誤魔化すと数学の力は伸びません･･･。
一度理解できた話であれば、そこから先は使える事が重要で、-aの係数は-1とさっと答えてしまって良いですけどね。
では次に-(-a)について考えましょう。
-aの係数は-1でしたから、-(-a)=-{(-1)×(a)}となりますね。
-{(-1)×(a)}の式で(-1)×(a)の係数はやはり-1ですね。
つまり、-(-a)=-{(-1)×(a)}=(-1)×(-1)×(a)=aとなります。
-(-a)=aという事です。
加法と減法の中で、(+200)-(-100)のような計算は数直線を考えて(+200)+(+100)に直して計算するという話をしていました。
「-(-100)」の計算は「-100戻る」、すなわち「+100進む」と解釈しましょうという話です。
-(-100)は先の-(-a)=aの式によると100になります。
と言う事は、(+200)-(-100)の項は、200と-(-100)でしたが、200と100という事ですね。
項を足し算でつなぐと元の式に戻るのですから、つまり200+100になります。
ここまで理解していると(+200)-(-100)=200+100=300という計算が一瞬でできるようになります。
このくらい理解しておくと、文字式の計算は「マジ楽勝」です。
そして数学の問題は大学受験まで、ほとんどこの文字の計算をすることになります。
早いうちに正しく理解しておいた方が良いですよ。
ルール
文字式のルールは次の通りです。
- ×や÷を省略する。+や-は省略しない。
- 1つの項について、数字は前に書き、文字は原則アルファベット順に書く。
- 数字が1のとき、省略する。逆に数字が無いという事は、数字の1が隠れているという事になる。
一応、-aの係数は-1という事も覚えておきましょう。
これはこのルールだけから中々すぐに導けるものではありませんので、ちゃんと覚えておきましょう。
備考
ここから先、(-3)などに着けていた()は必要なときのみ書くようにします。
(-5)×((+2)-(+3))であれば、-5×(2-3)と書きます。
(5)×((-2)-(-3))であれば、5×(-2-(-3))と書きます。
これをいずれ頑張るマン的に解説します。
