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文字を使った証明
みんな大好き証明問題です！
え？証明も頑張るマンも嫌い？
頑張るマンはは嫌いになっても、証明問題は嫌いにならないでください！
あ、頑張るマンは戻るボタン大嫌いです。
文字式を使った証明問題は実は簡単なんです。
問題に答えが書いてあるんです。
「○○が△△になることを証明しなさい。」
はい、○○は△△になるらしいですよ！
○○をいじくりまわすと、いずれ△△になるらしいです！
簡単ですね、○○をいじって･･･△△にすればいいんです。
証明の流れ
例えばこんな問題を考えてみましょう。
「a=b、b=cである。a=cであることを証明しなさい。」
a=bで、b=cらしいので、とりあえずb=cをa=bに代入して見ましょう。
つまり、a=bのbを、b=cなのでcで置き換えるという事です。
a=c･･･！
これで証明が出来ました。
a=bとb=cという式を、正しい式変形を行うとa=cという式になりました。
簡単ですね。
基本はこの形なんです。
Aという事実とBという事実からCという新しい事実Cを導くんです。
AとBを仮定といい、Cを結論と言ったりします。
差が出る理解！
簡単になるように、a=b,b=cという意味のない式を使いました。
本来はもっと複雑な式でこれを行いますからね。
例えば次のような問題です。
半径r、中心角がa°の扇形の面積Sは次の式で表されます。
S=πr2×{a/360}･･･①
半径r、中心角がa°の扇形の弧の長さlは次の式で表されます。
l=2πr×{a/360}･･･②
半径r、中心角がa°の扇形の面積Sが弧の長さlを用いて次の式で表される事を証明しなさい。
S={1/2}lr･･･③
S=πr2×{a/360}･･･①
={1/2}×2×πr2×{a/360}･･･lの式に2があるので2が欲しいから1={1/2}×2を掛けただけで値は変わりません。
={1/2}×2×πr×r×{a/360}･･･lの式はrは1個なので分解
={1/2}×r×2×πr×{a/360}･･･lの塊を作り出し･･･
={1/2}×r×l･･･置き換え！
={1/2}lr･･･答え
性質を知る
証明問題が嫌われる面白い理由は「使っていい式が分からない」これでしょう。
例えば次のような問題を考えてみましょう。
「偶数に1を足すと奇数になることを証明しなさい。」
偶数は2の倍数、奇数は2の倍数でない整数でしたね。
この問題は「当たり前」と思ってしまいますが、それをきちんと説明するんです。
「偶数である数a」と「aに1を足す」という仮定から「奇数である数になる」という結論を導きます。
偶数である数aは2の倍数ですから、整数nを用いてa=2nと書くことが出来ます。
n=1ならa=2で偶数、n=2ならa=4で偶数、という具合で偶数ですね。
この「偶数aは整数nを用いてa=2nと書ける」は、使っていい性質です。
このレパートリーが少ないので証明問題が解けないんですね。
レパートリーが少なければ増やせばいい、それだけです。
問題をただ解いてわからなくて答えを写しているだけの方はいつまでも証明問題を解くことは出来ません。
このような例題や演習問題、その他学んだ知識をレパートリーとして使えるようになる必要があります。
続きに進みましょう。
a=2nに1を足すのですからその数bはb=a+1=2n+1ですね。
では2n+1は2の倍数でしょうか？
2で割ると2nが2の倍数ですから、1余りますね。
2で割り切れない数です。
従ってb=2n+1は奇数になります。
2の倍数は「2×整数」で書くことが出来るという知識がこの問題の要点になるわけですね。
ちなみに3の倍数でしたら「3×整数」と書くことが出来ます。
3n+1も3n+2も3の倍数ではありません。
3(n+1)や3(n+2)は3×整数ですから3の倍数ですね。
3(n+2)+1は3の倍数に1を加えていますから3で割れば1余り、3の倍数ではありません。
このような性質は当たり前の様に使われてしまいます。
重要そうに見えなくてスルーされがちなのですが、むしろこのような内容が点数の差になるんですよね。
これをいずれ頑張るマン的に解説します。
