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連立方程式
連立方程式をただ計算するだけなら、かなり簡単な部類です。
ただ、苦手な子も多いんですよね。
難しく考えすぎなのかもしれませんよ。
連立方程式とは二つの文字、二つの方程式からなる方程式の組の事です。
連立方程式の式1つ1つは二つの文字を含んだ式なので、一方を決めるともう一方が決まり、無数の解を持ちます。
連立方程式は二つの方程式を「共に満たす解」が、連立方程式として意味のある解になります。
x+y=1
x-y=3
この二つの方程式の解はそれぞれ
x+y=1･･･(x,y)=(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1),(3,-1)等
x-y=3･･･(x,y)=(-1,-4),(0,-3),(1,-2),(2,-1),(3,0)等
もちろんそれぞれには小数で作った解もあります。
しかし、それぞれの方程式の解を求める事にあまり意味はありません。
共に満たす解、つまり両方の解になっている解がありますね？
(2,-1)、つまりx=2、y=-1です。
この「共に満たす解」が連立方程式の解です。
しかし毎回解をたくさん書いて調べるのは億劫ですね。
分数等出てくることもありますから、たまたま合うような方法では問題です。
解き方がありますから、重要な要点、式変形の意図だけを理解しましょう。
やり方だけを覚えても、おそらくそれは無駄になるでしょう･･･。
加減法、その前に
加減法ほやる前に、まず方程式を足したり引いたり掛けたりすることの理解を深めましょう。
これが浅いまま加減法だけやるので、皆分からなくなるんです。
x+y=1
x-y=3
これらの式は1=1、3=3という天秤のつり合いを示す式です。
これらをそれぞれ両辺ともに2倍にした式は次のようになります。
2x+2y=2
2x-2y=6
これに元の連立方程式の解を代入した式は正しい式になるでしょうか？
x=2、y=-1を代入して確かめると、確かになりますね。
何故でしょうか？
x+yはx=2、y=-1のとき1なのですから2倍すれば2になるのは当然ですね。
x-yはx=2、y=-1のとき3なのですから2倍すれば6になるのは当然ですね。
だからx=2、y=-1はこの連立方程式の解になるのは当然なんです。
元の連立方程式の解は、この新しい連立方程式の解になりました。
一方で新しい連立方程式の解を求めれば、元の連立方程式の解を求めることが出来ます。
では次のような連立方程式はどうでしょうか？
x+y=1
2x-2y=6
これでもやはり同じことが言えます。
元の連立方程式の解は、この新しい連立方程式の解になります。
何倍かしただけのような式の連立方程式であれば、解は変わりません。
では、x+y=1の左辺に2x-2yを、右辺に6を足したらどうでしょうか？
x+y+2x-2y=1+6
3x-y=7
新しい式「3x-y=7」が生まれましたね。
この方程式の解はやはり無数にありますが、先程の連立方程式の解は、この方程式の解になります。
x=2、y=-1を代入すれば2×3-1×(-1)=7、解になっていますね。
x=2、y=-1を代入すれば2x-2y=6なのですから、1=1の両辺に6を足した7=7という式になるだけですね。
つまり、この様に連立方程式の二つの式を何倍かして足したような式は、元の連立方程式の解を、解に持ちます。
解は無数にありますが、その解の1つとして、連立方程式の解が含まれているという意味です。
と言う事は、次の連立方程式
x+y=1･･･①
x-y=3･･･②
の解x=2、y=-1を求める事と、①の式と、①+2×②の式の連立方程式
x+y=1
3x-y=7
の解は等しく、この連立方程式の解を求めればよいという事になります。
つまり、連立方程式として与えられた二つの式から、足したり引いたり掛けたりして生まれた方程式は、元の連立方程式の解を解に持つんです。
ただし、①の式と、2×①の式では①の式の無数の解の連立方程式になってしまいますから連立方程式の解を求める事は出来ません。
係数が気に食わない時、適当に式を足し引きして、都合の良い変数に変えて連立方程式を解いても、解を求めることが出来ます。
加減法
先程の話から、式を足したり引いたりしても連立方程式の解は変わらないということが分かりました。
そこで次のようなことをやってみましょう。
x+y=1･･･①
x-y=3･･･②
①+②を計算します。
x+y+x-y=1+3
2x=4
x=2
なんと、yが消え、xだけの方程式になり、しかもx=2、これは連立方程式の解です。
①-②を計算します。
x+y-(x-y)=1-3
x+y-x+y=-2
2y=-2
y=-1
なんと、今度はxが消え、yだけの方程式になり、しかもy=-1、これは連立方程式の解です。
x、もしくはyが消えるように足し引きすると、なんと連立方程式の解を求めることが出来ます。
足し引きして生まれた式の解は、元の連立方程式の解を必ず含みますから、このようなことが出来るんですね。
こんなこと学校で教えないですよね･･･。
「加減法は片方の文字を消去すれば解けますよ」という、結果しか教えてもらわないですよね？
「なんでそれで答えになるの？」とか聞いても、「なるからなるんだ」位の答えですよね。
こうやって足し引きした方程式の解が常に連立方程式の解を含んでいる事を確認したりしないですよね。
必死に文章理解しようと読んでくれないと、これ、わからないですからね･･･。
たぶん、学校じゃやれない･･･。
加減法は片方の文字を消すことに意味があります。
片方の文字が消えたら残った式はただの方程式ですね。
だから連立方程式が解けるんです。
「1つの文字の方程式なら解けるのに･･･」
「片方の文字が消えてくれたら･･･」
「そうだ、式を足したり引いたりして、片方の文字を消しちゃえ！」
「文字1つになった！これで解ける！」
こんな感じですね。
代入法
代入法も理屈は同じです。
x+y=1･･･①
x-y=3･･･②
①を変形するとx=1-yという式になります。
この式もやはり連立方程式の解x=2、y=-1を解に持ちます。
y=-1なら、x=2なんです。
ではその連立方程式の解の2であるxを②に代入しましょう。
②の式に代入する際にはx=1-yが2となるためにはy=-1である必要があります。
だから代入した時点で、もうyは連立式の解に限定されてしまいます。
解いているときはもちろん2を代入しているなんて思わないですけどね。
(1-y)-y=3
当然xは代入したので消えてしまいyだけの式になります。
1-2y=3
-2y=-2
y=-1
連立方程式の解になりましたね。
代入法は片方の文字を消すことに意味があります。
片方の文字が消えたら残った式はただの方程式ですね。
だから連立方程式が解けるんです。
「1つの文字の方程式なら解けるのに･･･」
「片方の文字が消えてくれたら･･･」
「そうだ、式を足したり引いたりして、片方の文字を消しちゃえ！」
「文字1つになった！これで解ける！」
こんな感じですね。
これをいずれ頑張るマン的に解説します。
