反比例

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反比例
1. 性質
  1. x=0のとき？
  2. 乗法的な性質
2. グラフ
問題演習

定数aを用いてy={a/x}で表される関数のとき、「yはxに反比例する」と言います。
このときの定数aを比例定数と言います。
例えばy={3/x}であればyはxに比例し、その比例定数は3になります。

なお、y={a/x}であればxy=aになります。
yがxに反比例する場合、二数の積であるxyは常に一定になります。

反比例は関数ですから、関数の話で基本的な意味は解説してしまっています。

性質

y={a/x?で表される場合、つまりyがxに反比例する場合、どのような性質を持つか考えていきましょう。

x=0のとき？

言葉の問題もあり、まず0<a、0<xとして考えます。

y={a/x}で0で割り算は出来ない、あるいは分数に0は不適であることから、x=0のときのyは存在しません。
ただ、xが0に近づくにつれ、分母の値が小さくなります。
割る数が小さくなるというという事は、計算結果は大きくなります。

これとは逆に、xが大きくなるとyは0に近づいていきます。

a<0、0<xのときはxが0に近づくにつれ、計算結果は小さくなります。
※0に近づく意味の小ささではなく、負の数として、0よりもはるかに小さくなっていきます。
また、xが大きくなるとyは負の値をとりながら0に近づいていきます。

x<0のときも考えておきましょう。
0<a、x<0であれば、xが0に近づくにつれ、計算結果は小さくなります。
xが小さくなるとyは負の値をとりながら0に近づいていきます。

a<0、x<0であれば、xが0に近づくにつれ、計算結果は大きくなります。
xが小さくなるとyは正の値をとりながら0に近づいていきます。

x	･･･	-1000	･･･	-1	･･･	-0.001	･･･	0	･･･	0.001	･･･	1	･･･	1000	･･･
0<a	負の数で0に近づく	-{a/1000}	･･･	-{a}	･･･	-{1000a}	小さい数	0	大きい数	{1000a}	･･･	{a}	･･･	{a/1000}	正の数で0に近づく
a<0	正の数で0に近づく	-{a/1000}	･･･	-{a}	･･･	-{1000a}	大きい数	0	小さい数	{1000a}	･･･	{a}	･･･	{a/1000}	負の数で0に近づく

この性質はもう一度グラフを考えるときに使います。

乗法的な性質

x₁=bのときと、x₂=nbのときを考えてみましょう。
つまり、xがn倍になったとき、yの値がどう変化するかと言う事です。

x₁のとき、y₁={a/b}ですね。
x₂のとき、y₂={a/nb}={1/n}{a/b}ですね。

y₁とy₂を比べると、y₂がy₁の{1/n}倍になっているのが分かります。
xがn倍になると、yは{1/n}倍になるという事が分かりました。

xの値が2倍、3倍になると、yの値は{1/2}倍、{1/3}倍になります。
これは反比例の性質としてよく出題されますので覚えておきましょう。

グラフ

次のような性質がありました。
まず一つ目はxの増減によるyの増減の関係です。

x	･･･	-1000	･･･	-1	･･･	-0.001	･･･	0	･･･	0.001	･･･	1	･･･	1000	･･･
0<a	負の数で0に近づく	-{a/1000}	･･･	-{a}	･･･	-{1000a}	小さい数	0	大きい数	{1000a}	･･･	{a}	･･･	{a/1000}	正の数で0に近づく
a<0	正の数で0に近づく	-{a/1000}	･･･	-{a}	･･･	-{1000a}	大きい数	0	小さい数	{1000a}	･･･	{a}	･･･	{a/1000}	負の数で0に近づく

次にxyが一定になるという性質です。
y={a/x}はyx=aですから、y={a/x}の点(x,f(x)),(x,0),(0,0),(0,f(x))が作る長方形の面積は常にaになります。

最後にもう一つ、aの約数をdとすると、x=dのとき、yは整数になります。
例えばy=12/xのとき、12の約数であるxが1,2,3,4,6,12のとき、yはそれぞれ12,6,4,3,2,1になります。
このような点は方眼上の格子点（碁盤の「目」にあたる、線がぶつかる点）であり、グラフを書くときに手掛かりになります。

反比例のグラフは直線ではなく曲線になり、この曲線を双曲線と言います。
上記のような点に注意しつつ、「双曲線ぽく」グラフを書きましょう。

これをいずれ頑張るマン的に解説します。