正負の数って、めっちゃムズイよね？
意外と正負の数をしっかり理解していないままの子は多いから注意してね。
その状態で中学3年生くらいになると、だいぶ辛いからね？
とは言え、こういうサイトを見る頃には大体受験前なんだよね･･･。
学校でも簡単に説明しようとするから、理解の浅いままになってしまうんだよね。
でも簡単に説明せざるを得ない面もあって、なんとももどかしい。
正負の数とは？
小学校で習ってきた算数で使っていた数は、色々な種類がありましたね？
| 数 | 種類 |
|---|---|
| 0,1,13等 | （普通の）数 |
| 0.1,1.5,2.0023等 | 小数 |
| {1/2}(2分の1),{2/3}(3分の2),{5/2}(2分の5)等 | 分数 |
ちなみにこれ以外にも帯分数みたいな数もあったけど、帯分数の形は中学校以上では基本的には使いません。
- 中学校以上では「×（掛ける）」の記号を省略するので、{2と2/3}と書くと、2×{2/3}と理解するから、帯分数は使わないでね。
こんな感じに、数は0から始まる数直線上のどこかに位置します。
「0より左側に数字があっても良くない？」って思いませんか？
数量
元々我々人類が数字を使い出したのは「1,2,3,..」という「数えられる数量」で、これを自然数と言います。
リンゴの個数は1個、2個･･･というように、この自然数で表すことが出来ます。
更に分数や小数などの「自然数ではない数量」があるね。
例えば長さ等をぴったり1mでなくても、mを用いて表現することが出来ます。
目に見えたり、表現できる数量は全部0より大きい数なんだね。
算数では扱いやすい数量を使ってきたので、全て0より大きい数でした。
0という数
その前にそもそも0とは何でしょう？
「リンゴ0個」と聞けば「リンゴが無い事」と同じ意味で捉えますよね。
0とは1から1を引いた数です、つまり「1-1=0」。
これが、リンゴ1個から1個を引いて無い状態と結びつくわけですね。
数直線で言うと1足すというのは1右に行くことですね？
1引くというのは逆に1左に行くことです。
0より小さい数は、0から何か数を引いた事を表す数になりそうです。
0の左側の世界が負の数
では本題の、「0の一個手前」、「0から1引いた数」つまり「0-1」はどうなるんでしょう？
「0より左側に数字があっても良くない？」とはそういう事です。
数直線上で表してみましょう。
- この「？」の数を「1」に「－（マイナス）」をくっつけて「-1」と言う数として表すことにします！
「0より1小さい数」の「0-1」は「-1」ですが、「0より1小さい数」の「0-2」は「-2」になります。
「-3」と言えば「0より3小さい数」の事になりますね。
元々の0の右側の数を「正の数」と言います。
「2」は正の数ですが、これをわざわざ「+（プラス）」をくっつけて「+2」と書く事もあります。
「－」を付けた0の左側の数を「負の数」と言います。
0よりも大きい数が正の数、0よりも小さい数が負の数、という事になります。
符号
「－」や「＋」の記号を「符号」と言います。
「+6の符号は正」、「-4の符号はマイナス」等と言ったりします。
数の分類
中学校で使う数について確認しておきましょう。
まず、数が数直線上でどのような位置に属するかの分類があります。
| 種類 | どのような位置か | 例 |
|---|---|---|
| 負の数 | 0より小さい数 | -1,-2.5,{-3/4} |
| 0 | 0 | 0 |
| 正の数 | 0より大きい数 | 1,2.5,{3/4} |
数直線で表すと↓ですね。
次にその数がどのような数になっているかの分類があります。
| 種類 | どのような数か | 例 |
|---|---|---|
| 整数 | 小数点以下の無い数 | 0,-1,5等 |
| 正の整数(自然数) | 0より大きい整数 | 1,2,3,… |
| 負の整数 | 0より小さい整数 | -1,-2,-3,…等 |
| 小数 | 小数点第一位以下がある数 | 0.1,-1.5,2.0023等 |
| 分数 | 整数を使った分母と分子で表される数 | {1/2}(2分の1),{-2/3}(3分の2),{5/2}(2分の5)等 |
差が出る理解！
数を「相対的」に捉えると良いでしょう。
0を起点とし、それよりも大きい数と小さい数と言う捉え方は、正負の数を自由に使いこなせるようになると思います。
方向
目に見えるような数には、大体方向が決まっています。
数直線は右側を正すると、直感的にわかりやすくなります。
次の図のような「家から学校までの道のり」で考えてみましょう。
絵は不真面目だけど、内容は真面目だから安心して！
家を0とし、家から学校へ向かう方向を正とした場合
このとき家から学校までの道のりは7で表されます。
家から公園までの道のりは3ですね。
公園を0とし、家から学校へ向かう方向を正とした場合
このとき公園から学校までの道のりは4で表されます。
では公園から家までの道のりはいくつでしょう？
学校とは反対の方向へ3ですから、この道のりは「-3」ですね。
学校を0とし、家から学校へ向かう方向を正とした場合
公園を0としたときと同様、学校から家、学校から公園は反対方向です。
学校から家までの道のりは「-7」で表されます。
学校から公園までの道のりは「-4」ですね。
学校を0とし、学校から家へ向かう方向を正とした場合
学校から家へ向かう方向を正とすると、数直線の右側が負、左側が正です。
直感的にわかりにくいので、図を反転させましょう。
字まで反転しましたね･･･。
ちゃんと反転させたのも用意してるから！
学校から家までの道のりは7で表されます。
学校から公園までの道のりは4ですね。
道のりと距離
道のりは方向があって、正の数になったり、負の数になったりします。
しかし、距離という数量は二点間の数量であり、必ず正の値になります。
この距離のように必ず正の数として扱う数量があります。
差
正負の数の四則演算（足し算（和）、引き算（差）、掛け算（積）、割り算（商））については次回以降の内容です。
しかし、その前に正負の数の理解に差がつく話をしておきましょう。
それは「差」、つまり「引き算」についてです。
引き算の前に「差」
引き算は次回以降の話ですので、引き算の話をするわけではありません。
まず、小学校から使ってきた正の数を使った「差」を考えましょう。
「3」と「5」の「差（いくつ違うか）」はいくつでしょう？
「5-3=2」と計算した方、素晴らしい！
このような差を求めるときは「大きい方から小さい方を引く」というやり方が正解です。
あるいは次のような図を考えた方、素晴らしい！
文字や数字は直感的な理解に結びつきませんから、映像を使って理解するとわかりやすくなります。
さて、では次は「-1」と「2」の「差（いくつ違うか）」はいくつでしょう？
「2-(-1)=3」と計算した方･･･す、素晴らしい！
あるいは次のような図を考えた方、素晴らしい！
数直線でイメージするだけで、理解しやすくなります。
