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掛け算を乗法といい「×」で表し結果を積と言い、割り算を除法といい「÷」（「/」）で表し結果を商と言う。
乗法
乗法とは数を掛ける事で、正負の数を考慮して掛ける必要があります。
正の数同士の掛け算は従来通りです。
(+3)×(+4)=+12、これは(+3)が(+4)回足されているという事でした。
つまり、(+3)×(+4)=(+3)+(+3)+(+3)+(+3)=+12です。
正の数と負の数の掛け算はこれをもとに考えましょう。
(-3)×(+4)、これは(-3)が(+4)回足されているという事でした。
(-3)×(+4)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12
同様に、数と正負を入れ替えた式は一致します。
(-4)×(+3)=(-4)+(-4)+(-4)=-12
これは、3×4=12と、負の数を掛けたことによるマイナスを付け、-12となると考えることが出来ます。
順序を入れ替えた(+3)×(-4)はどうなるでしょうか？
これも同じ事が言えますね。
(+3)×(-4)は-4を3回足しているとも見ることができます。
(+3)×(-4)=(-4)×(+3)=(-4)+(-4)+(-4)=-12
全く同じ様に、(+4)×(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12も言えそうですね。
問題は(-3)×(-4)です。
少し話を変えて考えてみましょう。
3km/h(※)で進んでいる人が、4時間経つと進んだ道のりはいくらでしょう？
※km/hのhはhour(時間)とkm（距離）を使って、1時間あたりに進んだ距離、つまり時速の意味です。
3km/h×4h=12km（※）
※km/h×h=km、単位をしっかり覚えると「みはじ」とか、「はじき」とか、間違えやすい公式を覚えずに済みます。
という事で注釈が多くて少しわかりにくいですが、(+3)×(+4)=+12ですね。
-3km/hで進んでいる人が、4時間経つと進んだ道のりはいくらでしょう？
(-3)×(+4)=(-12)
3km/hで進んでいる人が、4時間遡ると進んだ道のりはいくらでしょう？
(+3)×(-4)=(-12)
では、問題の-3km/hで進んでいる人が、4時間遡ると進んだ道のりはいくらでしょう？
これは結局進んだことになりますね？
(-3)×(-4)=(+12)
負の数同士を掛けると、なんと正の数になるんですね･･･！
ここでは、ぴょんぴょんしている図を使います。
++○+++○+++○+++○++
ポイントは3ずつ増えている点がずっと続いている事
1時間遡ると･･･という図が視覚的にとらえやすい、はず。
差が付く理解
異符号は負、同符号は正･･･確かに簡潔、シンプルイズベスト、わかりやすい。
しかし、これは意味の分からない、ただの暗記法。
理解につながらないので、やめた方が良い。
交換法則
負の数を使った乗法ですが、交換法則が成り立ちます。
まず、2つの数の間の乗法で交換法則が成り立ちます。
例:(+3)×(-4)=(-4)×(+3)=(-12)
これは、3つの数の間でも成り立ちます。
例：(+3)×(-4)×(-5)=(-5)×(-4)×(+3)=(+60)
乗法同士なら「好きに順番を入れ替えて計算しても良いよ」という事ですね。
結合法則
負の数を使った乗法ですが、結合法則が成り立ちます。
(+3)×(-4)×(-5)={(+3)×(-4)}×(-5)=(-12)×(-5)=(+60)
(+3)×(-4)×(-5)=(+3)×{(-4)×(-5)}=(-3)×(-20)=(+60)
「どこから計算しても良いよ」という事ですね。
分配法則
負の数を使った乗法ですが、分配法則が成り立ちます。
{(+3)+(-4)}×(-5)={-1}×(-5)=(+5)
ですが、次の様に計算する事もできます。
{(+3)+(-4)}×(-5)={(+3)×(-5)}+{(-4)}×(-5)}=(-15)+(+20)=(+5)
()の中に足し算や引き算があり、その()と掛けられている数があるときに使える法則です。
分配法則は、分配する方向だけではなく、逆に使う事もできます。
足し算や引き算の式に同じ数が掛けられている部分があるときに、()の中に入れる事が出来る法則です。
先程の計算を逆に使ったような式変形ですね。
{(+3)×(-5)}+{(-4)}×(-5)}={(+3)+(-4)}×(-5)
累乗と指数
中学生の数学の中で忘れられやすい計算の1つがこの累乗の計算です。
足し算を繰り返した計算に対し、回数を使って表した計算式を掛け算と言います。
(+3)+(+3)+(+3)+(+3)=(+3)×(+4)と書きます。
掛け算を繰り返した計算に対し、回数を使って表した計算式を「累乗」と言います。
(+3)×(+3)×(+3)×(+3)=(+3)4と書きます。
この右肩に書いている数を「指数」と言います。
4の手前にある(+3)が4回掛けられている事を表しています。
「34」の事を「3の4乗」等と言います。
2乗する事を平方、整数を2乗したような数を平方数と言ったりもします。
3乗する事を立方、整数を2乗したような数を立方数と言ったりもします。
このとき注意しなければならないのは負の数の累乗の表現方法です。
(-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=(+81)
これは特に問題ないですね？
ここまでわかりやすさのために使ってきた()ですが、いずれこれは使わなくなります。
すると次のような書き方の意味を正しく理解する必要が出てきます。
34
このときの4乗は手前の3に掛かっています。
(+3)×(+3)×(+3)×(+3)=81
というように解釈します。
では、次の数はどうでしょうか？
-34
このときの4乗はやはり、「手前の3」に掛かっています。
-{34}
というような解釈をすることになります。
-{(+3)×(+3)×(+3)×(+3)}=-81
というように解釈します。
(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
を指数を使った累乗で表現するためには、必ず次のように-3の指数である事を()を使って表現する必要があります。
(-3)4
除法
除法は割り算ですが、逆数の掛け算と考える事ができますね？
負の数のときも同様の事が言えます。
割り算、例えば12÷4は12の中に何回4があるか、あるいは、4に何を掛けると3になるかという理解でした。
割り算は掛け算の逆をする事を使った計算になります。
掛け算の性質が割り算でも通用する事になり、「逆数の掛け算」として考えて問題ありません。
除法は乗法さえわかれば、後は逆数を掛けるだけです。
符号について以下の様に、情報のときの結果と同じ性質を持ちます。
(+12)÷(+3)=(+12)×(+{1/3})=(+4)※正÷正=正で同符号は正
(+12)÷(-3)=(+12)×(-{1/3})=(-4)※正÷負=負で異符号は負
(-12)÷(+3)=(-12)×(+{1/3})=(-4)※負÷正=負で異符号は負
(-12)÷(-3)=(-12)×(-{1/3})=(+4)※負÷負=正で同符号は正
これをいずれ頑張るマン的に解説します。
