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関数
中学生で比例を習う前に関数と言う話をするのですが、比例の方を具体的に扱うので一年後に一次関数をやる事にはすっかり忘れ去られます。
しかし、関数というものは数学を学んでいくうえで必ず必要になるものなので、忘れず覚えておいて下さい。
「yはxの関数である」とは？
xとyという二つの数量が、xを決めるとyの値が決まるような関係にあるとき「yはxの関数である」と言います。
例えば、太朗君が1000円持っていて、300円のケーキをx個買った時に残りの金額をy円とします。
このとき、ケーキを1個買えば残りは700円、2個買えば残りは400円、3個買えば残りは100円です。
xを決めるとyが決まりますね。
従って、yはxの関数になっています。
yがxの関数であるとき、次のように書きます。
y=f(x)
中学校でこんな書き方を教わることは無いでしょうが、関数はこの式で覚えておくとわかりやすいですよ。
関数と言うのは、ある操作手順です。
fという操作手順が、先程の例では1000円から300xを引くという操作手順になっています。
x=1なら1000-300=700、x=2なら1000-300×2=400、x=3なら1000-300×3=100ですね。
このような操作手順の事を関数fと言ったりもするのですが、f(x)はfという手順をxで行った結果という意味になります。
※ですから手順をgとしてy=g(x)という書き方もします。
f(1)であれば「1個買った場合で操作をしてね」、つまり、x=1の1000-300=700、f(1)=700になります。
f(2)であれば「2個買った場合で操作をしてね」、つまり、x=2の1000-300×2=400、f(2)=400になります。
y=f(x)という書き方はyはxの関数、つまりxによって値が決まるもので、その操作手順はfである、という意味になります。
x=1のとき、その結果のf(1)=700がyになるし、x=2のときはf(2)=400がyになるという事になります。
残りのお金yは、x=1のときはf(1)の700であり、x=2のときはf(2)の400であるという事になります。
yがxの関数のとき
中学校で学ぶ関数y=f(x)は、xを使った文字式で表されます。
例えば、f(x)は2x+3という文字式であるとかです。
このときf(x)=2x+3というように書きます。
関数fは2x+3のxに値を代入した結果、という事ですね。
f(1)=2×1+3=5となりますのでx=1のときy=f(1)=5となります。
少し発展的な高校生になってからの話にも触れておきます。
高校で学ぶ関数にはこのように単純にxに値を代入するものではない関数が出てきます。
例えば対数関数というlog(x)というような関数です。
ただ関数という話は同じですので、logと名付けられた操作手順にxを入れて対応する値を求めるだけです。
y=f(x)の関数fが誰しもが良く知る対数関数のとき、わざわざfは対数関数ですと断りを入れるのもわかりにくいしナンセンスです。
一般的によく使われる関数にはlogとかsinとか、それぞれの関数を表す名前がついています。
y=log(x)と書けば、yはxによる関数で、その関数は対数関数である事が明確にわかるようになっているわけですね。
yがxの関数ならxはyの関数？
これは必ずしも成り立ちません。
例えば次のような場合です。
| 商品 | 値段 |
|---|---|
| アイス | 100円 |
| ジュース | 100円 |
| 肉まん | 300円 |
値段をy、商品をxとすると、xを決めればyの値が決まりますね？
ですからyはxの関数であり、その関数をfとすれば、y=f(x)と書くことが出来ます。
f(アイス)=100
f(ジュース)=100
f(肉まん)=300
と言う事ですね。
ではyを決めるとxは決まるでしょうか？
もしそのような関数gがあってx=g(y)と書けるとしましょう。
g(300)=肉まん
g(100)=･･･アイス？ジュース？
1つに決まりませんね？
xはyの関数とは言いません。
yがxの関数だからといって、xがyの関数になるとは限りません。
変数
通常は関数と言えるものであれば、xやyは色々は値をとります。
このような色々な値をとりうる文字の事を、変数と言います。
変域
「太朗君が1000円持っていて、300円のケーキをx個買った時に残りの金額をy円とします。」の例ではxは0～3の整数になります。
このような「取りうる範囲」の事を変域と言います。
xの取りうる範囲であれば、xの変域と言ったりします。
また、変域の表し方は不等号を使います。
今回の0～3であれば「0≦x≦3」と書きますが、不等号の書き方には注意が必要な点が2点あります。
まず一つ目は≦なのか＜なのかです。
x≦1は「xは1以下」、x＜1は「xは1未満」です。
1を含むのかどうかに注意して、等号を付けたり付けなかったり出来るようになりましょう。
二つ目は0≦x≦3という書き方は「0≦xであり、かつ、x≦3でもある」という事を意味しています。
0≦xと書くと、xは0も取りうる、1も取りうる、2も取りうる、･･･、100も取りうるという事を意味しています。
また、同様にx≦3と書くと、xは3も取りうる、2も取りうる、1も取りうる、･･･、-100も取りうるという事を意味しています。
「かつ」という言葉は、この両方を「満たす」という事を意味する言葉です。
x=-100はx≦3は満たしますが、0≦xを満たしませんので、xの変域に含まれる数ではありません。
x=1はx≦3を満たし、0≦xも満たしますので、xの変域に含まれる数です。
変化の割合
yがxの関数であるとき、xが変化するとyも増減します。
このときのyの増加量とx増加量の比（つまり{yの増加量/xの増加量}）を変化の割合と言います。
関数y=f(x)のxがx1からx2に変化する時、yがf(x1)からf(x2)に変化します。
xの増加量はx2-x1になります。
yの増加量はf(x2)-f(x1)になります。
変化の割合は{f(x2)-f(x1)/x2-x1}になります。
例えばy=2x+3としましょう。
このときx=2からx=5まで変化したとき、y=2×2+3=7からy=2×5+3=13まで変化します。
xの増加量は5-2=3になります。
yの増加量は13-7=6になります。
変化の割合は{6/3}つまり2になります。
y=2x+3のxの係数と等しいですね。
詳しくは比例や二年生の一次関数、三年生のyがxの二乗に比例する関数の中で扱います。
グラフ
横方向をx、縦方向をyとした2つの数直線からなる方眼を使って関数が対応する点を図示することが出来ます。
数直線は0同士が同じ場所となるように配置し、この0同士が重なる点を原点と言います。
点から2つの数直線に垂線を下すことで、方眼上の点はxの値、yの値が決まります。
※図必須
x方向の数直線をx軸、y方向の数直線をy軸と言い、x軸とy軸を合わせて座標軸と言います。
xの値がxa、yの値がyaである点Aを(xa,ya)と表します。
xaを点Aのx座標、yaを点Aのy座標、(xa,ya)を点Aの座標と言います。
x=1のときy=5なのであれば、xが1、yが5となる点を(1,5)でを打ちます。
x=2のときy=3なのであれば、xが2、yが3となる点、(2,3)を打ちます。
関数ですから、xを決めればyが決まるので、すべてのxの変域の値に対し、xとyのペアを作ることが出来ます。
(x,f(x))の点を打っていくという事です。
関数y=f(x)の対応する点を打ったものをグラフと言います。
このようにして全てのxの値とyの値のペアの点を打つと直線や曲線が描かれます。
※一応、直線や曲線だけではありません。
これをいずれ頑張るマン的に解説します。